यदि {e^y} + xy = e है,तो x = 0 पर क्रमित युग् | vedclass

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Question

(C) दिया गया समीकरण ${e^y} + xy = e$ है। $x = 0$ पर,${e^y} + 0 = e \implies {e^y} = e \implies y = 1$. दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $

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$\left( { - \frac{1}{e},\frac{1}{{{e^2}}}} \right)$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया समीकरण ${e^y} + xy = e$ है। $x = 0$ पर,${e^y} + 0 = e \implies {e^y} = e \implies y = 1$. दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: ${e^y} \frac{dy}{dx} + x \frac{dy}{dx} + y = 0$. $(0, 1)$ बिंदु पर,${e^1} \frac{dy}{dx} + 0 + 1 = 0 \implies e \frac{dy}{dx} = -1 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{e}$. अब,${e^y} \frac{dy}{dx} + x \frac{dy}{dx} + y = 0$ का पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: ${e^y} \frac{d^2y}{dx^2} + {e^y} \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + x \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} + \frac{dy}{dx} = 0$. $x = 0, y = 1, \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{e}$ रखने पर: $e \frac{d^2y}{dx^2} + e \left( -\frac{1}{e} \right)^2 + 0 + 2 \left( -\frac{1}{e} \right) = 0$. $e \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{1}{e} - \frac{2}{e} = 0$. $e \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{e} \implies \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{e^2}$. अतः,क्रमित युग्म $\left( -\frac{1}{e}, \frac{1}{e^2} \right)$ प्राप्त होता है।

यदि ${e^y} + xy = e$ है,तो $x = 0$ पर क्रमित युग्म $\left( {\frac{{dy}}{{dx}},\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}}} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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